PERSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT SIFATNYA

 Assalamualaikum Wr.Wb

Pada kesempatan ini saya ABDUL NUR RAHMAN akan membuat artikel tentang persamaan eksponen beserta sifat sifatrnya. 


Persamaan Eksponensial

Persamaan eksponen adalah suatu persamaan yang pangkatnya, bilangan pokoknya, atau keduanya  memuat suatu variabel. Ada pun bentuk-bentuk persamaan eksponen yaitu :


Bentuk persamaan af(x) = 1

Jika a > 0 dan a ≠ 1, maka untuk menentukan himpunan penyelesaian bentuk persamaan af(x) = 1 gunakan sifat :


af(x) = 1 ⇔f(x) = 0


Bentuk persamaan af(x) = ap atau af(x) = ag(x)

Jika a > 0 dan a ≠ 1, maka himpunan penyelesaian bentuk persamaan eksponen af(x) = ap atau af(x) = ag(x) ditentukan dengan cara menyamakan pangkat kedua ruas.


af(x) = ap ⇔ f(x) = p


af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x)


Bentuk Persamaan af(x) = bf(x)

Jika a ≠ b ; a dan b > 0 ; a dan b ≠ 1, maka himpunan penyelesaian persamaan eksponen af(x) = bf(x)  dapat ditentukan dengan cara menyamakan f(x) dengan nol.


af(x) = bf(x) ⇔ f(x) = 0


Bentuk persamaan af(x) = bg(x)

Jika a ≤ b ; a dan b > 0 ; a dan b ≠ 1, dan f(x) ≠ g(x) maka, himpunan penyelesaian untuk bentuk persamaan eksponen af(x) = bg(x) dengan melogaritmakan kedua ruas.


af(x) = bg(x)⇔ log af(x) = log bg(x)


Bentuk Persamaan A[af(x)]² + B[af(x)]+ C = 0

Penyelesaian persamaan eksponen untuk bentuk  persamaan kuadrat A[af(x)]² + B[af(x)]+ C = 0 dengan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna atau rumus abc.


Bentuk persamaan f(x)g(x) = 1

Penyelesaikan persamaan eksponen dengan bentuk f(x)g(x) = 1 adalah :


Pertama f(x) = 1 karena bilangan satu dipangkatkan berapapun nilainya adalah satu.


Kedua f(x) = -1 untuk f(x) ≠ g(x) dengan ketentuan g(x) adalah bilangan genap positif karena minus satu dipangkatkan bilangan genap adalah satu.


Ketiga  g(x) = 0 untuk f(x) ≠ g(x) karena bilangan berpangkat berapun dipangkatkan nol adalah satu.


Bentuk persamaan f(x)g(x) = f(x)h(x)

Himpunan penyelesaian bentuk eksponen f(x)g(x) = f(x)h(x) adalah :


Pertama g(x) = h(x) karena bilangan pokoknya sama, maka pangkatnya harus sama.


Kedua f(x) = 1 untuk g(x) ≠ h(x) karena bilangan satu dipangkatkan berapapun nilainya adalah satu.


Ketiga f(x) = -1 untuk g(x) ≠ h(x) dengan ketentuan g(x) dan h(x) harus sama-sama merupakan bilangan genap atau ganjil karena bilangan minus satu dipangkatkan genap sama dengan satu atau bilangan minus satu dipangkatkan ganjil sama dengan minus satu.


Keempat f(x) = 0 untuk g(x) ≠ h(x) dengan ketentuan g(x) > 0 dan h(x) > 0 karena nol dipangkatkan bilangan positif adalah sama dengan nol.


Bentuk persamaan f(x)g(x) = h(x)g(x)

Himpunan penyelesaian bentuk eksponen f(x)g(x) = h(x)g(x) adalah :


Pertama f(x) = h(x) karena pangkatnya sama, maka bilangan pokoknya harus sama.


Kedua g(x) = 0 untuk f(x) ≠ h(x), f(x) ≠ 0 dan h(x) ≠ 0 karena bilangan real berapapun selain nol dipangkatkan nol adalah satu.




Sifat-Sifat Bilangan Eksponensial

Jika a bilangan real, a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, maka


am×an = am+n


am/an = am-n


(am)n = amn


am/n = (a1/n)m


a1/m = p à pm = a


Jika a bilangan real, a > 0, p/n, p/q dan m/n adalah bilangan pecahan n ≠ 0, maka (am/n)(ap/n) = a(m+p)/n


(am/n)(ap/q) = am/n + p/q



Untuk lebih memahami materi tentang persamaan eksponen, saya akan memberikan beberapa contoh soal dibawah ini...!


Latihan 1

Jika penyelesaian dari 5t4-1 = 3t4-1 adalah t1 dan t2 dengan t1 > t2, tentukan nilai t2 - t1 !


Jawab :

Berdasarkan sifat B maka

t4 - 1 = 0

(t2 - 1)(t2 + 1) = 0

(t + 1)(t - 1)(t2 + 1) = 0

t = -1  atau t = 1

Catatan : t2 + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian real, dapat diuji dari nilai diskriminannya yang kurang dari nol.


Karena t1 > t2 , maka t1 = 1 dan t2 = -1. Akibatnya

t2 - t1 = -1 - 1 = -2


Latihan 2

Tentukan HP dari (x2 - x - 1)3x-9 = 1


Jawab :

Berdasarkan sifat D, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi.


Solusi 1 : Basisnya sama dengan 1.

x2 - x - 1 = 1

x2 - x - 2 = 0

(x + 1)(x - 2) = 0

x = -1 atau x = 2


Solusi 2 : Basisnya sama dengan -1, dengan syarat pangkatnya genap.

x2 - x - 1 = -1

x2 - x = 0

x(x - 1) = 0

x = 0 atau x = 1

Untuk x = 0  → (3x - 9) bernilai ganjil

Untuk x = 1  → (3x - 9) bernilai genap

Jadi, yang memenuhi adalah x = 1


Solusi 3 : Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat basisnya tidak sama dengan nol.

3x - 9 = 0

3x = 9

x = 3

Periksa : Untuk x = 3  →  (x2 - x - 1) ≠ 0

Jadi, x = 3 memenuhi


∴ HP = {-1, 1, 2, 3}



Ya berahirlah isi dari artikel ini, semoga bermanfaat....

Ingat!!! Belajar matematika di blog, membuat matematika menjadi lebih mudah



Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

kontekstual berkaitan dengan vektor

Gambar
 ABDUL NUR RAHMAN  X MIPA 1 / ABSEN 2 PENERAPAN VEKTOR DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI illustrasi penerapan vektor dalam kehidupan 1.    Disaat penerjun menjatuhkan diri dari pesawat, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin. 2.    Ketika perahu menyebrangi sebuah sungai, maka kecepatan gerak perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air. 3.    Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak panah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut. 4.    Pesawat terbang yang ingin terbang dan mendarat menggunakan metode vektor, sehingga ketika turun tidak langsung jatuh kebawah, tapi melalui arah vektor yang disesuaikan. Dengan demikian orang-orang yang berada didalamnya pun tidak jatuh atau terombang-amb...
Baca selengkapnya

PENGERTIAN SKALAR DAN VECTOR BESERTA CONTOH SOALNYA

Gambar
 NAMA : ABDUL NUR RAHMAN (2) KELAS : X MIPA - 1 Pengertian Besaran Vektor Dalam Matematika dan fisika dikenal dua besaran, yaitu besaran vektor dan besaran skalar. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) saja, misalnya waktu, suhu, panjang, luas, volume, massa dan sebagainya. Sedangkan, Besaran Vektor adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) dan arah (direction), misalnya kecepatan, percepatan, gaya, momentum, momen, impuls, medan magnetik dan sebagainya. Vektor adalah suatu ruas garis berarah yang memiliki besaran (panjang, nilai) dan arah tertentu, dapat dinyatakan dalam grafis berikut. Bila u menyatakan garis berarah dari A ke B maka dituliskan lambang ( dibaca vektor AB mewakili vektor u, sedangkan AB adalah vektor yang pangkalnya A dan ujungnya B) 1. Dua buah vektor disebut sama jika dan hanya jika panjang dan arah vektor sama vektor a dan vektor b sama, artinya panjangnya sama dan arahnya sama. vektor a dan vektor c tidak sama, walaupun panjangnya ...
Baca selengkapnya

DALIL SEGMEN GARIS PADA MASALAH GEOMETRI DAN CONTOH SOALNYA

Gambar
 ABDUL NUR RAHMAN(2) X MIPA 1 dalil segmen garis dan contoh soalnya    Dalil 1 : (Sifat kongruen segmen garis) Sifat kongruen segmen garis adalah refleksi, simetri dan transitif Refleksi : Untuk setiap garis AB berlaku AB ≡ AB Simetri : Jika AB ≡ CD, maka CD ≡ AB Transitif : Jika AB ≡ CD, dan CD ≡ EF maka AB ≡ EF Dalil 4 : Dua garis tidak berpotongan pada lebih dari satu titik Pada gambar di dibawah AEB dan CED berpotongan di titik D dan tidak berpotongan dititik lain. Dalil 5 : Jika terdapat sebuah titik pada suatu garis hanya dapat dibuat satu garis tegak lurus melalui garis tersebut Dalil 6 : Untuk setiap dua titik berbeda, hanya ada satu bilangan real positif, yaitu panjang segmen garis yang menghubungkan dua titik. Dalil 7 : Jarak terpendek antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik itu. Dalil 8 : Segmen garis memiliki satu dan hanya satu titik tengah. contoh soal 1.  Pada segitiga ABC, D, E dan F masing-masing titik tengah AB, AC da...
Baca selengkapnya